Sammlung historischer mathematischer Modelle

Der Planigraph beruht auf folgendem Lehrsatz des Prof. Darboux, Paris: Wenn 3 Punkte $A$, $B$, $C$ einer Geraden von 3 zugehörigen Punkten einer anderen geraden dieselben Abstände behalten, so hat jeder andere Punkt $M$ der Geraden $AB$ auch eine bestimmte gleichbleibende Entfernung zu dem zugehörigen Punkt $M_1$ der Geraden $A_1B_1$. Es gibt nun einen Punkt $P$ auf der geraden $AB$, dessen zugehöriger Punkt $P_1$ auf der Geraden $A_1B_1$ unendlich weit entfernt ist. Wenn man nun die Gerade $A_1B_1$ festlegt, so beschreiben alle Punkte $M$ der Geraden $AB$ Kugeln oder Kugelzonen, deren Mittelpunkt $M_1$ auf der geraden $A_1B_1$ liegen. Insbesondere beschreibt der Punkt $P$ eine Ebene, die senkrecht zu $A_1B_1$ liegt. Um im vorliegenden Modell 2 Punkte $A$ und $A_1$ in derselben Entfernung voneinander festzuhalten, sind an den Enden eines Stabes $AA_1$ drehbare Ringe mit Gabeln angebracht, die wieder an drehbaren Ringen der Stäbe $AB$ und $A_1B_1$ befestigt sind. Durch diese doppelte Cardanische Aufhängung erreicht man eine feste Entfernung der Punkte $A$ und $A_1$, $B$ und $B_1$ und $C$ und $C_1$. Der Stab $A_1B_1$ ist senkrecht auf einem Dreifuss befestigt. Die Spitze des Stabs $AB$ stellt den Punkt $P$ dar, der bei der Bewegung des Systems auf einer Ebene bleibt, z.B. einer Tischplatte, auf die das Modell gestellt wird. Vergleiche Schilling, M.: Catalog mathematischer Modelle für den höheren mathematischen Unterricht, 7. Auflage (1911), S. 92f, 166f.