Martin Arnold, Bernhard Burgermeister
Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg
Institut für Numerische Mathematik

Numerische Mathematik für Fachrichtung Wirtschaftsmathematik

Wintersemester 2004/05: Stundenplan

Di12.00 - 13.35 Uhr,SR2, Vorlesung
Do08.15 - 09.35 Uhr,1.30,Vorlesung
Mi08.15 - 09.45 Uhr,SR3, Übung

Literatur

Übungen


Dienstag, 12. Oktober 2004

1. Einführung

(1.1) Bemerkung: Was ist Numerische Mathematik ? (Folie 1)
(1.2) Beispiel: Fallstudie Polynomiale Interpolation (Folie 1)

Donnerstag, 14. Oktober 2004

(1.2+) Beispiel: Fallstudie Polynomiale Interpolation (Folie 2, Folie 3, Folie 4, Folie 5, Folie 6, Folie 7, Folie 8, Folie 9, intrunge.m)
(1.3) Bemerkung: Literatur (Literatur)

2. Numerische Lösung linearer Gleichungssysteme

(2.1) Bemerkung: Problemstellung
(2.2) Bemerkung: Gestaffelte Systeme
(2.3) Bemerkung: Gaußscher Algorithmus

Dienstag, 19. Oktober 2004

(2.3+) Bemerkung: Gaußscher Algorithmus
(2.4) Bemerkung: Pivotisierung

Donnerstag, 21. Oktober 2004

(2.5) Satz: LR-Zerlegung mit Spaltenpivotisierung
(2.6) Bemerkung: Skalierung, Äquilibrierung

Dienstag, 26. Oktober 2004

(2.7) Satz: Gauß-Elimination für symmetrische positiv definite Matrizen
(2.8) Satz: Cholesky-Zerlegung
(2.9) Algorithmus: Cholesky-Verfahren

Donnerstag, 28. Oktober 2004

3. Fehleranalyse

3.1. Grundlagen

Literatur: N.J. Higham: Accuracy and Stability of Numerical Algorithms, 2nd ed.. SIAM Philadelphia, 2002.

(3.1) Bemerkung: Gleitpunktzahlen
(3.2) Bemerkung: Rundung
(3.3) Satz: Rundungsfehler
(3.4) Bemerkung: Absolute und relative Fehler

Dienstag, 2. November 2004

(3.5) Bemerkung: Gleitpunktarithmetik
(3.6) Bemerkung: IEEE-Datentypen und -Arithmetik
(3.7) Definition: Vektornorm (Folie 1)
(3.8) Beispiel: Vektornormen (Folie 1, vnorm.m)
(3.9) Bemerkung: Äquivalente Normen
(3.10) Definition: Matrixnorm
(3.11) Beispiel: Frobeniusnorm
(3.12) Satz: Zugeordnete Matrixnorm
(3.13) Beispiel: Zugeordnete Matrixnormen

Donnerstag, 4. November 2004

(3.13+) Beispiel: Zugeordnete Matrixnormen

3.2. Kondition, Stabilität

(3.14) Bemerkung: Rundungsfehleranalyse. Beispiel Addition
(3.15) Beispiel: Addition in Gleitpunktarithmetik
(3.16) Bemerkung: Auslöschung

Dienstag, 9. November 2004

4. Lineare Ausgleichsprobleme

4.1. Orthogonalisierungsverfahren

(4.1) Bemerkung: Motivation
(4.2) Beispiel: Orthogonale Transformationen im R2
(4.3) Bemerkung: Householder-Spiegelungen
(4.4) Algorithmus: QR-Algorithmus mittels Householder-Spiegelungen

Donnerstag, 11. November 2004

(3.16+) Bemerkung: Auslöschung
(3.17) Bemerkung: Eingabefehler und Fehler im Ergebnis
(3.18) Definition: Konditionszahl
(3.19) Beispiel: Kondition
(3.20) Bemerkung: Berechnungsvorschrift
(3.21) Definition: Numerische Stabilität

Dienstag, 16. November 2004

(3.22) Bemerkung: Lineare Gleichungssysteme: Kondition und Stabilität
(4.4+) Algorithmus: QR-Algorithmus mittels Householder-Spiegelungen (Folie 1)
(4.5) Algorithmus: Householder-Spiegelungen zur Lösung linearer Gleichungssysteme

Donnerstag, 18. November 2004

4.2. Ausgleichsprobleme

(4.6) Bemerkung: Lineare Ausgleichsprobleme
(4.7) Satz: Normalgleichungen zum linearen Ausgleichsproblem
(4.8) Folgerung: Normalgleichungen und lineares Ausgleichsproblem
(4.9) Bemerkung: Numerische Lösung linearer Ausgleichsprobleme

Dienstag, 23. November 2004

(4.9+) Bemerkung: Numerische Lösung linearer Ausgleichsprobleme
(4.10) Bemerkung: Kondition des linearen Ausgleichsproblems

5. Iterative Lösung linearer Gleichungssysteme

(5.1) Bemerkung: Lineare Gleichungssysteme mit schwach besetzter Koeffizientenmatrix

5.1. Klassische iterative Verfahren

(5.2) Algorithmus: Jacobi- oder Gesamtschrittverfahren
(5.3) Algorithmus: Gauß-Seidel- oder Einzelschrittverfahren

Donnerstag, 25. November 2004

(5.4) Bemerkung: Relaxationsverfahren
(5.5) Satz: Konvergenz des Jacobiverfahrens

5.2. Konvergenzanalyse

(5.6) Bemerkung: Eine Klasse von Iterationsverfahren
(5.7) Satz: Spektralradius und Matrixnorm

Dienstag, 30. November 2004

(5.8) Satz: Spektralradius und Konvergenz
(5.9) Satz: Konvergenzverhalten klassischer Iterationsverfahren (ohne Beweis) (Folie 1, Folie 2)
(5.10) Beispiel: Konvergenzverhalten für ein Modellproblem (Folie 1, liniter.m, plotiter.m)

5.3. CG-Verfahren

(5.11) Bemerkung: Motivation
(5.12) Algorithmus: CG-Verfahren
(5.13) Bemerkung: Konvergenzgeschwindigkeit des CG-Verfahrens (Folie 1, cgiter.m, pcgssor.m, plotiter.m)

Donnerstag, 2. Dezember 2004

6. Eigenwertprobleme

6.1. Grundlagen

(6.1) Bemerkung: Eigenwertprobleme
(6.2) Satz: Satz von Gerschgorin
(6.3) Beispiel: Gerschgorin-Kreise
(6.4) Bemerkung: Kondition des Eigenwertproblems
(6.5) Beispiel: Schlecht konditionierte Eigenwertprobleme

6.2. Vektoriteration

(6.6) Bemerkung: Vektoriteration

Dienstag, 7. Dezember 2004

(6.7) Satz: Rayleigh-Quotient
(6.8) Bemerkung: Inverse Vektoriteration
(6.9) Bemerkung: Transformation auf Hessenbergform

6.3. QR-Algorithmus

(6.10) Bemerkung: QR-Algorithmus

Donnerstag, 9. Dezember 2004

(6.10+) Bemerkung: QR-Algorithmus
(6.11) Satz: Konvergenz des QR-Algorithmus (ohne Beweis)
(6.12) Bemerkung: QR-Algorithmus mit Shift-Technik

Dienstag, 14. Dezember 2004

(6.13) Beispiel: QR-Algorithmus mit Shift-Technik

6.4. Singulärwertzerlegung

(6.14) Satz: Singulärwertzerlegung
(6.15) Bemerkung: Eigenschaften der Singulärwertzerlegung
(6.16) Definition: Singulärwertzerlegung und Singulärwerte
(6.17) Bemerkung: Berechnung der Singulärwertzerlegung mit einem modifizierten QR-Algorithmus

Donnerstag, 16. Dezember 2004

(6.17+) Bemerkung: Berechnung der Singulärwertzerlegung mit einem modifizierten QR-Algorithmus

7. Interpolation

(7.1) Bemerkung: Problemstellung

7.1. Klassische Polynominterpolation

(7.2) Satz: Interpolationspolynom

Dienstag, 21. Dezember 2004

(7.3) Definition: Interpolationspolynom
(7.4) Beispiel: Lagrange-Polynome
(7.5) Bemerkung: Algorithmus von Neville
(7.6) Bemerkung: Dividierte Differenzen
(7.7) Bemerkung: Newtonsche Darstellung des Interpolationspolynoms
(7.8) Satz: Restglied der Polynominterpolation

Donnerstag, 23. Dezember 2004

(7.9) Folgerung: Eigenschaften von dividierten Differenzen
(7.10) Beispiel: Restglied der Polynominterpolation
(7.11) Bemerkung: Hermite-Interpolation

7.2. Spline-Interpolation

(7.12) Definition: Polynomialer Spline

Dienstag, 11. Januar 2005

(7.13) Beispiel: Polynomiale Splines
(7.14) Bemerkung: Eigenschaften polynomialer Splines
(7.15) Bemerkung: Bestimmung der Splinekoeffizienten
(7.16) Lemma: Ein Kriterium für die Regularität von Matrizen
(7.17) Folgerung: Eindeutigkeit des interpolierenden kubischen Splines
(7.18) Bemerkung: Konvergenzeigenschaften kubischer Splines

Donnerstag, 13. Januar 2005

(7.18+) Bemerkung: Konvergenzeigenschaften kubischer Splines
(7.19) Satz: Approximationsgüte der zweiten Ableitung
(7.20) Satz: Approximationseigenschaften vollständiger kubischer Splines
(7.21) Folgerung: Gleichmäßige Konvergenz interpolierender Splines

Dienstag, 18. Januar 2005

8. Numerische Integration reeller Funktionen

(8.1) Bemerkung: Problemstellung

8.1. Newton-Cotes-Quadratur

(8.2) Bemerkung: Zusammengesetzte Trapezregel
(8.3) Definition: Quadraturformeln
(8.4) Bemerkung: Interpolation und Quadratur

Mittwoch, 19. Januar 2005

(8.5) Bemerkung: Newton-Cotes-Formeln
(8.6) Lemma: Mittelwertsatz in Integralform
(8.7) Lemma: Approximationsfehler der Trapezregel
(8.8) Lemma: Approximationsfehler der Keplerschen Fassregel
(8.9) Lemma: Approximationsfehler der zusammengesetzten Trapezregel

8.2. Extrapolationsverfahren, Romberg-Quadratur

(8.10) Beispiel: Simpsonregel
(8.11) Bemerkung: h2-Entwicklung des Approximationsfehlers der zusammengesetzten Trapezregel
(8.12) Bemerkung: Asymptotische Entwicklung
(8.13) Bemerkung: Extrapolationsverfahren

Dienstag, 25. Januar 2005

(8.14) Algorithmus: Extrapolationsverfahren
(8.15) Bemerkung: Romberg-Quadratur

9. Numerische Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme

(9.1) Bemerkung: Problemstellung

9.1. Fixpunktiteration

(9.2) Bemerkung: Nichtlineare Gleichungssysteme und Fixpunktgleichungen
(9.3) Beispiel: Fixpunktiteration zur Lösung nichtlinearer Gleichungen
(9.4) Definition: Kontrahierende Abbildung
(9.5) Lemma: Stetig differenzierbare kontrahierende Abbildungen
(9.6) Satz: Banachscher Fixpunktsatz (Wiederholung)

Donnerstag, 27. Januar 2005

(9.7) Bemerkung: Fixpunktiteration: praktische Aspekte
(9.8) Definition: Konvergenz, Konvergenzordnung

9.2. Newton-Verfahren

(9.9) Bemerkung: Newton-Verfahren
(9.10) Beispiel: Verfahren von Heron
(9.11) Satz: Konvergenz des Newton-Verfahrens

Dienstag, 1. Februar 2005

(9.12) Bemerkung: Gedämpftes Newton-Verfahren
(9.13) Bemerkung: Vereinfachtes Newton-Verfahren
(9.14) Bemerkung: Berechnung der Jacobimatrix

9.3. Nullstellen reeller Funktionen

(9.15) Bemerkung: Bisektionsverfahren

Mittwoch, 2. Februar 2005

(9.16) Bemerkung: Regula falsi
(9.17) Bemerkung: Sekantenverfahren
(9.18) Bemerkung: Nullstellen von Polynomen

Letzte Änderung: Nov 20, 2006,  Martin Arnold.