Martin Arnold
Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg
Institut für Numerische Mathematik

Geometrische Zeitintegration

Sommersemester 2004: Stundenplan

Mo12.15 - 13.45 Uhr,SR1, Vorlesung
Do14.15 - 15.45 Uhr,1.27,Vorlesung
Mo14.15 - 15.45 Uhr,SR1, Übung

Literatur

E. Hairer, C. Lubich, G. Wanner
Geometrical Numerical Integration. Structure-Preserving Algorithms for Ordinary Differential Equations. Springer Series in Comput. Mathematics, Vol. 31, Springer-Verlag 2002.

Montag, 5. April 2004

1. Einführung

1.1. Zweidimensionale Beispielprobleme

(1.1) Bemerkung: Populationsdynamik: Lotka-Volterra-Modell

Mittwoch, 7. April 2004

(1.2) Definition: Phasenfluss
(1.3) Definition: Invarianten
(1.4) Beispiel: Invarianten
(1.5) Bemerkung: Zeitintegrationsverfahren 1. Ordnung
(1.6) Beispiel: Zeitintegration der Lotka-Volterra-Gleichung (Folie 1)
(1.7) Bemerkung: Hamilton-Systeme (Folie 1)

1.2. N-Körper-Problem

(1.8) Bemerkung: Zwei-Körper-Problem (Folie 1)

Mittwoch, 14. April 2004

(1.9) Beispiel: Das äußere Sonnensystem (Folie 1)
(1.10) Bemerkung: Lennard-Jones-Potential
(1.11) Bemerkung: Störmer-Verlet-Verfahren

Montag, 19. April 2004

(1.12) Beispiel: Vereinfachtes ebenes Kristallmodell (Folie 1)

1.3. Probleme mit hochfrequent schwingenden Lösungsanteilen

(1.13) Beispiel: Fermi-Pasta-Ulam-Problem (Folie 1)
(1.14) Beispiel: Klassische Integrationsverfahren und hochfrequent schwingenden Lösungsanteile (Folie 1)

Donnerstag, 22. April 2004

2. Numerische Integrationsverfahren

2.1. Runge-Kutta-Verfahren, Kollokationsverfahren

(2.1) Bemerkung: Einschrittverfahren
(2.2) Definition: Runge-Kutta-Verfahren
(2.3) Bemerkung: Lokaler Diskretisierungsfehler
(2.4) Bemerkung: Kollokationsverfahren (Folie 1)
(2.5) Lemma: Approximationseigenschaften des Kollokationspolynoms

Montag, 26. April 2004

(2.6) Satz: Superkonvergenz von Kollokationsverfahren
(2.7) Beispiel: Kollokationsverfahren (Folie 1)
(2.8) Bemerkung: Unstetige Kollokationsverfahren

Donnerstag, 29. April 2004

(2.9) Beispiel: Unstetige Kollokationsverfahren (Folie 1)
(2.10) Satz: Konvergenzeigenschaften von unstetigen Kollokationsverfahren

2.2. Partitionierte Runge-Kutta-Verfahren

(2.11) Definition: Partitionierte Runge-Kutta-Verfahren
(2.12) Beispiel: Partitionierte Runge-Kutta-Verfahren
(2.13) Bemerkung: Ordnung von partitionierten Runge-Kutta-Verfahren

Montag, 3. Mai 2004

(2.14) Satz: Konvergenzeigenschaften von Lobatto IIIA-IIIB-Verfahren
(2.15) Bemerkung: Nyström-Verfahren

2.3. Zusammengesetzte Einschrittverfahren, Splitting-Verfahren

(2.16) Bemerkung: Adjungiertes Verfahren (Folie 1)
(2.17) Satz: Diskretisierungsfehler von adjungierten Verfahren (Folie 1)

Donnerstag, 6. Mai 2004

(2.18) Bemerkung: Zusammengesetzte Einschrittverfahren
(2.19) Beispiel: Symmetrische zusammengesetzte Verfahren
(2.20) Bemerkung: Additive Zerlegung von Vektorfeldern
(2.21) Beispiel: Symmetrisches Splitting und Störmer-Verlet-Verfahren

Montag, 10. Mai 2004

(2.22) Bemerkung: Splitting-Verfahren

3. Numerische Lösung von Differentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten

3.1. Erhaltung von Invarianten

(3.1) Beispiel: Erhaltungsgrößen des N-Körper-Problems
(3.2) Satz: Schiefsymmetrische Abbildungen und quadratische Invarianten

Donnerstag, 13. Mai 2004

(3.3) Beispiel: Invarianten des Starrkörpers im R3 (Folie 1)
(3.4) Satz: Erhaltung linearer und quadratischer Invarianten durch Runge-Kutta-Verfahren
(3.5) Satz: Erhaltung quadratischer Invarianten durch Gauß-Verfahren
(3.6) Bemerkung: Erhaltung quadratischer Invarianten durch zusammengesetzte Verfahren
(3.7) Satz: Erhaltung linearer und quadratischer Invarianten durch partitionierte Runge-Kutta-Verfahren
(3.8) Satz: Erhaltung quadratischer Invarianten durch Lobatto IIIA-IIIB-Verfahren
(3.9) Lemma: Polynomiale Invarianten. Beispiel: Determinante

Montag, 17. Mai 2004, Vorlesung I

(3.10) Lemma: Zur Determinante spezieller differenzierbarer Matrixfunktionen
(3.11) Satz: Runge-Kutta-Verfahren und polynomiale Invarianten
(3.12) Bemerkung: Eine stetige Variante des QR-Algorithmus

Montag, 17. Mai 2004, Vorlesung II

(3.13) Satz: Isospektraler Fluss
(3.14) Bemerkung: Isospektrale Verfahren

Montag, 24. Mai 2004

3.2. Projektionsverfahren, Differentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten

(3.15) Bemerkung: Schwache Invarianten (Folie 1)
(3.16) Bemerkung: Projektionsverfahren
(3.17) Beispiel: Projektionsverfahren für Hamilton-Systeme (Folie 1)

Donnerstag, 27. Mai 2004

(3.18) Beispiel: Projektionsverfahren für Probleme der linearen Algebra

Donnerstag, 3. Juni 2004

(3.19) Bemerkung: Lokale Koordinaten auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten
(3.20) Bemerkung: Tangentialraum

Montag, 7. Juni 2004

(3.21) Satz: Charakterisierung von Differentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten
(3.22) Bemerkung: Numerische Integration auf Mannigfaltigkeiten
(3.23) Beispiel: Stiefel-Mannigfaltigkeit

Donnerstag, 10. Juni 2004

3.3. Numerische Lösung von Differentialgleichungen auf Lie-Gruppen

(3.24) Beispiel: Die orthogonale Gruppe
(3.25) Lemma: Lie-Klammer und Lie-Algebra
(3.26) Beispiel: Lie-Gruppen und Lie-Algebren
(3.27) Lemma: Exponentialabbildung als Parametrierung von Lie-Gruppen
(3.28) Satz: Differentialgleichungen auf Matrix-Lie-Gruppen

Montag, 14. Juni 2004

(3.29) Bemerkung: Lineare Differentialgleichungen mit zeitabhängigen Koeffizienten
(3.30) Lemma: Ableitung der Matrix-Exponentialfunktion
(3.31) Lemma: Die Inverse der Ableitung der Matrix-Exponentialfunktion
(3.32) Satz: Eine Lösungsdarstellung für lineare Differentialgleichungen mit zeitabhängigen Koeffizienten (Magnus, 1954)

Donnerstag, 17. Juni 2004

(3.33) Bemerkung: Die Magnus-Reihe
(3.34) Bemerkung: Zeitintegration auf Grundlage der Magnus-Reihenentwicklung

Montag, 21. Juni 2004

(3.35) Bemerkung: Crouch-Grossman-Verfahren (Folie 1)
(3.36) Bemerkung: Munthe-Kaas-Verfahren (Folie 1)

Donnerstag, 24. Juni 2004

(3.37) Bemerkung: Quadratische Lie-Gruppen und Cayley-Transformation

4. Symmetrie und Reversibilität

(4.1) Bemerkung: ρ-Reversibilität
(4.2) Satz: Symmetrische Integrationsverfahren und Reversibilität

Montag, 28. Juni 2004

(4.3) Beispiel: Symmetrische Integrationsverfahren und Reversibilität
(4.4) Satz: Symmetrische Runge-Kutta-Verfahren
(4.5) Beispiel: Symmetrische Runge-Kutta-Verfahren
(4.6) Bemerkung: Symmetrische partitionierte Runge-Kutta-Verfahren

Donnerstag, 1. Juli 2004

(4.7) Bemerkung: Zusammengesetzte Verfahren und Symmetrie
(4.8) Bemerkung: Symmetrische Projektionsverfahren

Montag, 5. Juni 2004

(4.9) Beispiel: Symmetrische Projektionsverfahren (Folie 1, Folie 2)

Donnerstag, 8. Juli 2004

(4.10) Bemerkung: Lokale Koordinaten und symmetrische Integrationsverfahren (Folie 1)

Letzte Änderung: Jul 9, 2004,  Martin Arnold.